已知函数f（x）=（x-a）sinx+cosx，x∈（0，π）．
1个回答
解题思路：（Ⅰ）当a=[π/2]时，表示出f（x），求得f′（x），由导数符号可判断函数的单调性，由单调性可知函数的最值，从而可得值域；
（Ⅱ）分
π
2
＜a＜π
，a≥π两种情况进行讨论，在定义域内解不等式可求得函数的单调区间；
（Ⅰ）当a=[π/2]时，f（x）=（x-[π/2]）sinx+cosx，x∈（0，π）．
f′（x）=（x-[π/2]）cosx，由f′（x）=0得x=[π/2]，
f（x），f′（x）的情况如下：
x（0，[π/2]）[π/2]（[π/2]，π）
x-[π/2]-0+
cosx+0-
f′（x）-0-
f（x）↓↓因为f（0）=1，f（π）=-1，
所以函数f（x）的值域为（-1，1）．
（Ⅱ）f′（x）=（x-a）cosx，
①当[π/2＜a＜π时，f（x），f′（x）的情况如下
x（0，
π
2]）[π/2]（[π/2]，a）a（a，π）
x-a--0+
cosx+0--
f′（x）-0+0-
f（x）↓↑↓所以函数f（x）的单调增区间为（[π/2]，a），单调减区间为（0，[π/2]）和（a，π）．
②当a≥π时，f（x），f′（x）的情况如下
x（0，[π/2]）[π/2]（[π/2]，π）
x-a--
cosx+0-
f′（x）-0+
f（x）↓↑所以函数f（x）的单调增区间为（[π/2]，π），单调减区间为（0，[π/2]）．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的值域；三角函数中的恒等变换应用．
考点点评： 该题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想，考查学生的运算求解能力，属中档题．
相关问题
