解题思路：（Ⅰ）[n+1/k+1]
C
k
n
=[n+1/k+1•
n!
k!•(n−k)!]，由此能够证明[n+1/k+1]
C
k
n
=
C
k+1
n+1
．
（Ⅱ）由（n+1）
(
C
0
n
+
1
2
C
1
n
+
1
3
C
2
n
+…+
1
n+1
C
n
n
)
=31，能够推导出2n+1-1=31，解得n=4．故（1+x）2n=（1+x）8展开式中系数最大的项是第5项，由此能求出（1+x）2n的展开式中系数最大的项．
（Ⅰ）证明：[n+1/k+1]
Ckn=[n+1/k+1•
n!
k!•(n−k)!]
=
(n+1)!
(k+1)!(n−k)!=
Ck+1n+1，
∴[n+1/k+1]
Ckn=
Ck+1n+1．
（Ⅱ）∵（n+1）(
C0n+
1
2
C1n+
1
3
C2n+…+
1
n+1
Cnn)=31，
∴[n+1/1]
C0n+[n+1/2
C1n]+[n+1/3
C2n]+…+[n+1/n+1
Cnn]
=
C1n+1+
C2n+1+
C3n+1+…+
Cn+1n+1
=2n+1-1，
∴2n+1-1=31，
∴2n+1=32
点评：
本题考点： 组合及组合数公式；二项式系数的性质．
考点点评： 本题考查组合数的证明，考查展开式中系数最大的项的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意组合数公式的灵活运用．
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