（1）已知k、n∈N*，且k≤n，求证：kCkn=nCk-1n-1；
1个回答
解题思路：（1）利用组合的阶乘公式，分别化简左、右边，即可得证；
（2）由题意得数列a0，a1，a2，…为等差数列，且公差为a1-a0≠0，利用
p(x)=
a
0
C
0
n
(1-x
)
n
+
a
1
C
1
n
x(1-x
)
n-1
+
a
2
C
2
n
x
2
(1-x
)
n-2
+…+
a
n
C
n
n
x
n
=
a
0
C
0
n
(1-x
)
n
+[
a
0
+(
a
1
-
a
0
)]
C
1
n
x(1-x
)
n-1
+…+[
a
0
+n(
a
1
-
a
0
)]
C
n
n
x
n
，即可化简得到结论．
证明：（1）左边=k
Ckn=k•
n!
k!(n-k)!=
n!
(k-1)!(n-k)!，
右边=n•
(n-1)!
(k-1)!(n-k)!=
n!
(k-1)!(n-k)!，
所以k
Ckn=n
Ck-1n-1；
（2）由题意得数列a0，a1，a2，…为等差数列，且公差为a1-a0≠0．
则p(x)=a0
C0n(1-x)n+a1
C1nx(1-x)n-1+a2
C2nx2(1-x)n-2+…+an
Cnnxn=a0
C0n(1-x)n+[a0+(a1-a0)]
C1nx(1-x)n-1+…+[a0+n(a1-a0)]
Cnnxn=a0[
C0n(1-x)n+
C1nx(1-x)n-1+…+
Cnnxn]+(a1-a0)[
C1nx(1-x)n-1+2
C2nx2(1-x)n-2+…+n
Cnnxn]=a0[(1-x)+x]n+(a1-a0)nx[
C0n-1(1-x)n-1+
C1n-1x(1-x)n-2+…+
Cn-1n-1xn-1]=a0+(a1-a0)nx[x+(1-x)]n-1=a0+（a1-a0）nx，
所以对任意的正整数n，p（x）是关于x的一次式．
点评：
本题考点： 二项式定理；组合及组合数公式．
考点点评： 本题主要考查组合数的性质、二项式定理，考查推理论证能力．
相关问题
