（1）已知k、n∈N * ，且k≤n，求证： k C kn =n C k-1n-1 ；
1个回答
证明：（1）左边= k
C kn =k•
n!
k!(n-k)! =
n!
(k-1)!(n-k)! ，
右边= n•
(n-1)!
(k-1)!(n-k)! =
n!
(k-1)!(n-k)! ，
所以 k
C kn =n
C k-1n-1 ；
（2）由题意得数列a 0，a 1，a 2，…为等差数列，且公差为a 1-a 0≠0．
则 p(x)= a 0
C 0n (1-x ) n + a 1
C 1n x(1-x ) n-1 + a 2
C 2n x 2 (1-x ) n-2 +…+ a n
C nn x n = a 0
C 0n (1-x ) n +[ a 0 +( a 1 - a 0 )]
C 1n x(1-x ) n-1 +…+[ a 0 +n( a 1 - a 0 )]
C nn x n = a 0 [
C 0n (1-x) n +
C 1n x (1-x) n-1 +…+
C nn x n ]+( a 1 - a 0 )[
C 1n x (1-x) n-1 +2
C 2n x 2 (1-x) n-2 +…+n
C nn x n ] = a 0 [(1-x)+x ] n +( a 1 - a 0 )nx[
C 0n-1 (1-x) n-1 +
C 1n-1 x (1-x) n-2 +…+
C n-1n-1 x n-1 ] = a 0 +( a 1 - a 0 )nx[x+(1-x) ] n-1 =a 0+（a 1-a 0）nx，
所以对任意的正整数n，p（x）是关于x的一次式．
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