有这样一道习题：如图1，已知OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点（不与O、A重合），BP的延长线交⊙
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解题思路：原命题的证明：连接OQ，利用RQ为⊙O的切线，得出∠OQB+∠PQR=90°，根据半径OB=OQ及OA⊥OB，得出∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，从而得∠PQR=∠QPR，证明结论；
变化一的证明：与原命题的证明过程相反，由RP=RQ，可知∠PQR=∠QPR=∠BPO，再利用互余关系将角进行转化，证明∠OQB+∠PQR=90°，即∠OQR=90°即可；
变化二的证明：连接OQ，仿照原命题的证明方法进行．
证明：连接OQ，
∵RQ为⊙O的切线，
∴∠OQR=∠OQB+∠PQR=90°，
又∵OB=OQ，OA⊥OB，
∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，
∴∠PQR=∠BPO，
而∠BPO=∠QPR，
∴∠PQR=∠QPR，
∴RP=RQ；
变化一：
证明：∵RP=RQ，∴∠PQR=∠QPR=∠BPO，
又∵OB=OQ，OA⊥OB，
∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，
∴∠OQB+∠PQR=90°，即∠OQR=90°，
∴RQ为⊙O的切线；
变化二．
（1）若OA向上平移，变化一中的结论还成立；
（2）原题中的结论还成立．
理由：连接OQ，
∵RQ为⊙O的切线，
∴∠OQR=90°，∠BQO+∠RQP=90°，
又∵OB=OQ，OP⊥OB，
∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，
∴∠RQP=∠BPO，
∴RP=RQ；
（3）原题中的结论还成立，如图．
点评：
本题考点： 切线的判定与性质．
考点点评： 本题考查了切线的判定与性质．关键是利用圆中的等腰三角形，对顶角相等，互余关系的角证明角相等．
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