设ABCD是四边形,若AC⊥BD,证明:AB2+CD2=BC2+DA2
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设AC和BD交点为O 1、首先证明AC垂直BD→AB2+CD2=BC2+DA2: 根据勾股定理,原式化为AO2+BO2+CO2+DO2=BO2+CO2+AO2+DO2,这个式子明显成立,不必再证明…… 2、再证明AC垂直BD←AB2+CD2=BC2+DA2 根据余弦定理:AB2=AO2+BO2-2*AO*BO*cos∠AOB CD2=CO2+DO2-2*CO*DO*cos∠COD BC2=BO2+CO2-2*BO*CO*cos∠BOC DA2=DO2+AO2-2*DO*AO*cos∠AOD 根据对顶角相等以及cos∠AOB=-cos∠BOC,cos∠AOD=-cos∠COD,将上述四个式子代入题中等式,得: 2*cos∠AOD*(AO*BO+CO*DO+BO*CO+DO*AO)=0 明显()内不为零,所以cos∠AOD=0,所以∠AOD=90度,所以垂直 综上,AC垂直BD←→AB2+CD2=BC2+DA2 (看着步骤很麻烦,其实证必要性时只要知道用好余弦定理和余弦的关系就好啦~)