假设根号(7/5)是有理数,故存在互素的整数p、q,使得根号(7/5)=p/q.
所以,7q^2=5p^2.
由上式可看出7q^2是5的倍数,即5可以整除7q^2.
因为5与7互素,故5整除q^2.
如果5不能整除q,则5不能整除q^2.
因此,5必能整除q,即q=5m,m为整数.
同理可得,7能整除p,即p=7n,n为整数.
故7/5=p^2/q^2=(7n)^2/(5m)^2.
所以,5/7=n^2/m^2.
重复以上步骤可推得,n=5u,m=7v,u、v都是整数.
那么,p=7n=7(5u)=35u,q=5m=5(7v)=35v.
所以,p、q有公约数35,与假设p、q互素矛盾.
故根号(7/5)是无理数.
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