如何证明三角形的中线、角平分线、高线交与一点
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中线

可以使用塞瓦定理证明：

塞瓦定理

设O是△ABC内任意一点,

AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

假设D E 是中点,则连接CO并延长交AB于F

因为BD/DC=1 CE/EA=1 又因为F在AB上,所以AF/FB=1所以F为AB中点,所以三条中线交于一点.

高线

在ΔABC中,AC、AB上的高为BE和CF.

显然ΔABE∽ΔACF,故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC (1)

过A作ΔABC的高AD,分别交BE,CF,AB于O1,O2,

由ΔAFO2∽ΔADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD (2)

由ΔAEO1∽ΔADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD (3)

根据等式(1)(2)(3)有

AO1*AD＝AO2*AD,

∴AO1=AO2,O1、O2重合,记重合点为O点,则O点均在高AD,BE,CF上,

∴三角形ABC得三条高交于一点O.

角平分线

设三角形ABC,首先两条角平分线（假设是角A和角B的）肯定交于一点,设为D,分别作三边垂线,AB BC AC上的垂足为E F D

由角平分线定理,DE=DF,DF=DG

所以DE=DE,由逆定理,CE也为角平分线

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