已知函数f(x)＝10x10x+1，求f-1（x）并判断f-1（x）的单调性．
3个回答
解题思路：由
y＝
10
x
10
x
+1
解得
1
0
x
＝
y
1−y
，再转化为对数形式，然后由10x＞0，求得反函数的定义域．用定义法判断其单调性，先在定义域上任取两个变量，且界定大小，再作差变形与零比较，得到f-1（x1）与f-1（x2）关系，可得结论．
由y＝
10x
10x+1解得10x＝
y
1−y，
∵10x＞0，
∴0＜y＜1；
于是：f−1(x)＝lg
x
1−x，x∈（0，1）．
当0＜x1＜x2＜1时，
x1
1−x1−
x2
1−x2＝
x1−x2
(1−x1)(1−x2)
∵1-x1＞0，1-x2＞0，x1-x2＜0，
∴
x1
1−x1＜
x2
1−x2，
于是：lg
x1
1−x1＜lg
x2
1−x2，
即：f-1（x1）＜f-1（x2）．
∴f-1（x）在（0，1）上是增函数．
点评：
本题考点： 对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；反函数．
考点点评： 本题主要考查函数的反函数的求法及其单调性的判断，在求反函数时，要抓住x与y互换和原函数与反函数定义域与值域互换这两点．
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