解题思路：（1）求出函数的导数f′（x），求出切线的斜率，应用点斜式方程写出切线方程；

（2）g′（x）=f′（x）-2x²=2x（[1

x

2

+a

-x）等价于φ（x）=

1

x

2

+a

-x在（0，

1/a]）上有唯一零点，通过导数得到φ（x）在（0，[1/a]）上单调递减，判断且φ（0）、φ（[1/a]）的符号，由零点存在定理，即可得证；

（3）当a=2时，求出h（x），x₁=0，x₂=[1/2]，x₃=[4/9]，|x₃-x₂|=[1/18]，x_k∈（0，[1/2]]，则|x_k+1-x_k|＜…＜[1

4

k−2

|x₃-x₂|=

1/18]•

1

4

k−2

＜

1

4

k

，所以|x_m+k-x_k|＜|x_m+k-x_m+k-1|+|x_m+k-1-x_m+k-2|+…|x_k+1-x_k|应用放缩和等比数列的求和公式，即可得证．

（1）若a=2，f（x）=ln（2+x²），

则f′（x）=

2x

x2+2，f′（1）=

2/3]，f（1）=ln3，

所以所求的切线方程为y-ln3=[2/3]（x-1）

即2x-3y+3ln3-2=0；

（2）证明：g′（x）=f′（x）-2x²=2x（[1

x2+a-x）等价于φ（x）=

1

x2+a-x在（0，

1/a]）上有唯一零点．

事实上，φ′（x）=[−2x

(x2+a)2-1＜0，x∈（0，

1/a]），

所以φ（x）在（0，[1/a]）上单调递减，且φ（0）=[1/a]＞0，φ（[1/a]）=[1

1

a2+a−

1/a]＜0，

故在区间（0，[1/a]）上，g（x）存在唯一极值点．

（3）证明：当a=2时，h（x）=

f′(x)

2x=[1

x2+2，x₁=0，x₂=

1/2]，x₃=[4/9]，|x₃-x₂|=[1/18]，x_k∈（0，[1/2]]，

从而|x_k+1-x_k|=|

1

xk2+2−

1

xk−12+2|=

|xk−x

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查导数的应用：求切线方程、求极值，同时考查函数的零点存在定理，考查不等式的证明：放缩法，是一道综合题，有一定的难度．

1年前

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