解题思路：（1）求出函数的导数f′（x），求出切线的斜率，应用点斜式方程写出切线方程；
（2）g′（x）=f′（x）-2x2=2x（[1
x
2
+a
-x）等价于φ（x）=
1
x
2
+a
-x在（0，
1/a]）上有唯一零点，通过导数得到φ（x）在（0，[1/a]）上单调递减，判断且φ（0）、φ（[1/a]）的符号，由零点存在定理，即可得证；
（3）当a=2时，求出h（x），x1=0，x2=[1/2]，x3=[4/9]，|x3-x2|=[1/18]，xk∈（0，[1/2]]，则|xk+1-xk|＜…＜[1
4
k−2
|x3-x2|=
1/18]•
1
4
k−2
＜
1
4
k
，所以|xm+k-xk|＜|xm+k-xm+k-1|+|xm+k-1-xm+k-2|+…|xk+1-xk|应用放缩和等比数列的求和公式，即可得证．
（1）若a=2，f（x）=ln（2+x2），
则f′（x）=
2x
x2+2，f′（1）=
2/3]，f（1）=ln3，
所以所求的切线方程为y-ln3=[2/3]（x-1）
即2x-3y+3ln3-2=0；
（2）证明：g′（x）=f′（x）-2x2=2x（[1
x2+a-x）等价于φ（x）=
1
x2+a-x在（0，
1/a]）上有唯一零点．
事实上，φ′（x）=[−2x
(x2+a)2-1＜0，x∈（0，
1/a]），
所以φ（x）在（0，[1/a]）上单调递减，且φ（0）=[1/a]＞0，φ（[1/a]）=[1
1
a2+a−
1/a]＜0，
故在区间（0，[1/a]）上，g（x）存在唯一极值点．
（3）证明：当a=2时，h（x）=
f′(x)
2x=[1
x2+2，x1=0，x2=
1/2]，x3=[4/9]，|x3-x2|=[1/18]，xk∈（0，[1/2]]，
从而|xk+1-xk|=|
1
xk2+2−
1
xk−12+2|=
|xk−x
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查导数的应用：求切线方程、求极值，同时考查函数的零点存在定理，考查不等式的证明：放缩法，是一道综合题，有一定的难度．
1年前
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