解题思路：（1）f'（x）=-
x−(a−1)
x+1]，当a≤0时，f'（x）＜0，则f（x）在（-1，+∞）递减；当a＞0时，x∈（-1，a-1），f'（x）＞0；x∈（a-1，+∞），f'（x）＜0．由此能f（x）的单调性．
（2）由an+1=[1
2−
a
n
，知
a
n+1
−1＝
1
2−
a
n
−1
，所以
1
a
n+1
−1
＝
1
a
n
−1
−1
，由此能证明数列
{
1
a
n
−1
}
是等差数列．
（3）当a=1时，f（x）在（-1，0）递增，在（0，+∞）递减，所以ln（x+1）≤x，故ln（
1/n+1
+1)＜
1
n+1
，即：ln
n+2
n+1
＜
1
n+1]，由此能够证明a1+a2+…an=n-（[1/2
+
1
3
+…+
1
n+1
)＜n−(ln
3
2
+ln
4
3
+…+ln
n+2
n+1
)＝n+ln
2
n+2]．
（1）f'（x）=-
x−(a−1)
x+1
当a≤0时，f'（x）＜0，
则f（x）在（-1，+∞）递减；
当a＞0时，x∈（-1，a-1），f'（x）＞0；
x∈（a-1，+∞），f'（x）＜0；
∴当a＞0时，在（-1，a-1）上f（x）递增，
在（a-1，+∞）上f（x）递减…..（4分）
（2）∵函数f（x）=aln（x+1）-x，数列{an}满足a1=[1/2]，
ln（2an+1）=an+1•an+f（an+1•an），a=1，
∴ln（2an+1）=an+1•an+ln（an+1•an+1）-an+1•an，
∴ln（2an+1）=ln（an+1•an+1），
∴2an+1=an+1•an+1，
∴an+1=[1
2−an，
∴an+1−1＝
1
2−an−1，
∴
1
an+1−1 ＝
1
an−1−1，
∴{
1
an−1}是等差数列…..（8分）
（3）当a=1时，f（x）在（-1，0）递增，
在（0，+∞）递减，
∴f（x）≤f（0）=0，
即：ln（x+1）≤x，
∴ln（
1/n+1+1)＜
1
n+1，即：ln
n+2
n+1＜
1
n+1]≤[1/n+1]，
由（2）得：an=1-[1/n+1]，
∴a1+a2+…an
=1-[1/2]+1-[1/3]+…+1-[1/n+1]
=n-（[1/2+
1
3+…+
1
n+1)＜n−(ln
3
2+ln
4
3+…+ln
n+2
n+1)＝n+ln
2
n+2]
＜n-[ln（[1/2+1）+ln（
1
3+1）+…+ln（
1
n+1+1）]
=n-[ln（
3
2×
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；利用导数研究函数的单调性；等差关系的确定；数列的求和．
考点点评： 本题考查数列与不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
1年前
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