（2014•武汉模拟）已知函数f（x）=ln（x+1）+mx（m∈R）．
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（Ⅰ）由题设，函数的定义域为（-1，+∞），且f′(x)=
1
x+1+m，
∵当x=1时，函数f（x）取得极大值，
∴f′（1）=0，得m=-
1
2，此时f′(x)=
1-x
2(x+1)，
当x∈（-1，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（-1，1）上单调递增；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．
∴函数f（x）在x=1处取得极大值时，m=-
1
2；
（Ⅱ）证明：令h（x）=f（x）-g（x）=f（x）-
f(x1)-f(x2)
x1-x2（x-x1）-f（x1），
则h′(x)=f′(x)-
f(x1)-f(x2)
x1-x2．
∵函数f（x）在区间（x1，x2）上可导，则根据结论可知：存在x0∈（x1，x2），
使得f′(x0)=
f(x1)-f(x2)
x1-x2．
又f′(x)=
1
x+1+m，
∴h′(x)=f′(x)-f′(x0)=
1
x+1-
1
x0+1=
x0-x
(x+1)(x0+1)，
∴当x∈（x1，x0）时，h′（x）＞0，从而h（x）单调递增，h（x）＞h（x1）=0；
当x∈（x0，x2）时，h′（x）＜0，从而h（x）单调递减，h（x）＞h（x2）=0；
故对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）；
（Ⅲ）证明：∵λ1+λ2=1，且λ1＞0，λ2＞0，x2＞x1＞-1，
∴λ1x1+λ2x2-x1=x1（λ1-1）+λ2x2=λ2（x2-x1）＞0，
∴λ1x1+λ2x2＞x1，
同理λ1x1+λ2x2＜x2，
∴λ1x1+λ2x2∈（x1，x2）．
由（Ⅱ）知对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x），
从而f（λ1x1+λ2x2）＞
f(x1)-f(x2)
x1-x2(λ1x1+λ2x2-x1
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