解题思路：（Ⅰ）
F(x)＝lnx−k•
x−1
x+1
（x＞0），利用导数的运算法则可得
F
′
(x)＝
1
x
−
2k
(x+1
)
2
=
x
2
+2(1−k)x+1
x(x+1
)
2
，对于分子x2+2（1-k）x+1=0的判别式△=4（1-k）2-4=4（k2-2k）．通过对△和k分类讨论即可得出．
（Ⅱ）即x＞1时，F（x）＞0恒成立．利用（I）的结论和单调性即可得出；
（III）由（II）知：取k=2，
lnx＞2•
x−1
x+1
在（1，+∞）恒成立，令
x＝1+
1
a
n
2
，则
ln(1+
1
a
n
2
)＞2•
1
a
n
2
2+
1
a
n
2
＝
2
2
a
n
2
+1
＞
2
2
a
n
+1
．利用累加求和和柯西不等式即可证明．
（Ⅰ）F(x)＝lnx−k•
x−1
x+1（x＞0）．
F′(x)＝
1
x−
2k
(x+1)2=
x2+2(1−k)x+1
x(x+1)2，
x2+2（1-k）x+1=0的判别式△=4（1-k）2-4=4（k2-2k）．
①当△≤0即k∈[0，2]时，F'（x）≥0恒成立，则F（x）在（0，+∞）单调递增；
②当k＜0时，F'（x）＞0在（0，+∞）恒成立，则F（x）在（0，+∞）单调递增；
③当k＞2时，方程x2+2（1-k）x+1=0的两正根为k−1−
k2−2k，k−1+
k2−2k．
则F（x）在(0，k−1−
k2−2k)单调递增，(k−1−
k2−2k，k−1+
k2−2k)单调递减，(k−1+
k2−2k，+∞)单调递增．
综上：当k≤2时，只有单调递增区间（0，+∞）．
当k＞2时，单调递增区间为(0，k−1
点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数最值的应用．
考点点评： 本题综合考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、一元二次方程与判别式的关系、分类讨论、利用已经证明的结论解决问题、恒成立问题等基础知识与基本技能方法，属于难题．
