解题思路：（1）求导得到g′（x），利用导数的几何意义即可得出；
（2）利用（1）用a表示b，得到g′（x），通过对a分类讨论即可得到其单调性；
（3）证法一：由（2）知当a=1时，函数g（x）=lnx+x2-3x在（1，+∞）单调递增，可得lnx+x2-3x≥g（1）=-2，即lnx≥-x2+3x-2=-（x-1）（x-2），
令
x＝1+
1
n
，n∈
N
*
，则
ln(1+
1
n
)＞
1
n
−
1
n
2
，利用“累加求和”及对数的运算法则即可得出；
证法二：通过构造数列{an}，使其前n项和Tn=ln（1+n），则当n≥2时，
a
n
＝
T
n
−
T
n−1
＝ln(
1+n
n
)＝ln(1+
1
n
)
，显然a1=ln2也满足该式，
故只需证
ln(1+
1
n
)＞
n−1
n
2
＝
1
n
−
1
n
2
，令
x＝
1
n
，即证ln（1+x）-x+x2＞0，记h（x）=ln（1+x）-x+x2，x＞0，再利用（2）的结论即可；
证法三：令φ（n）=ln（1+n）-
n
i＝1
i−1
i
2
，则
φ(n+1)−φ(n)＝ln(n+2)−
n
(n+1)
2
−ln(n+1)
=
ln(1+
1
n+1
)−
1
n+1
+
1
(n+1)
2
，
令
x＝1+
1
n+1
，则x∈（1，2]，
1
n+1
＝x−1，n∈
N
*
，记h（x）=lnx-（x-1）+（x-1）2=lnx+x2-3x+2，利用（2）的结论即可．
（1）依题意得g（x）=lnx+ax2+bx，
则g′(x)＝
1
x+2ax+b，
由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g'（1）=1+2a+b=0，∴b=-2a-1．
（2）由（1）得g′(x)＝
2ax2−(2a+1)x+1
x=
(2ax−1)(x−1)
x，
∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），
∴①当a≤0时，2ax-1＜0在（0，+∞）上恒成立，
由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，
即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；
②当a＞0时，令g'（x）=0得x=1或x＝
1
2a，
若[1/2a＜1，即a＞
1
2]时，由g'（x）＞0得x＞1或0＜x＜
1
2a，由g'（x）＜0得[1/2a＜x＜1，
即函数g（x）在(0，
1
2a)，（1，+∞）上单调递增，在(
1
2a，1)单调递减；
若
1
2a＞1，即0＜a＜
1
2]时，由g'（x）＞0得x＞
1
2a或0＜x＜1，由g'（x）＜0得1＜x＜
1
2a，
即函数g（x）在（0，1），(
1
2a，+∞)上单调递增，在(1，
1
2a)单调递减；
若[1/2a＝1，即a＝
1
2]时，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0，
即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
综上得：当a≤0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；
当0＜a＜
1
2时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在(1，
1
2a)单调递减；在(
1
2a，+∞)上单调递增；
当a＝
1
2时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞
1
2时，函数g（x）在(0，
1
2a)上单调递增，在(
1
2a，1)单调递
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明．
考点点评： 熟练掌握导数的几何意义、分类讨论、利用导数研究函数的单调性、善于利用已经证明的结论、“累加求和”及对数的运算法则、“分析法”、“构造法”等是解题的关键．
