解题思路：（1）
g
′
(x)＝2x−(a−1)−
a
1+x
+
a+1
x
(x＞0)
，由g′（1）=0，能求出a；
（2）求出g（x）的导函数，由导数的正负得到函数的单调区间，进而得到函数g（x）在0≤x≤3上的最大值，又由对0≤x≤3，不等式g（x）≤m-8ln2成立，则m-8ln2≥g（x）max成立，解出m即可；
（3）设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），x1＜x2＜x3，则x2-x1=x3-x2=d＞0，而
f
′
(x)＝
8
e
x
1+
e
x
−9＝
−9−
e
x
1+
e
x
＜0
恒成立，所以f（x1）＞f（x2）＞f（x3）．由此能够推导出△ABC不可能是等腰三角形．
（1）g（x）=x2-（a-1）x-aln（1+x）+（a+1）lnx（x＞0），
g′(x)＝2x−(a−1)−
a
1+x+
a+1
x(x＞0)，
由于g（x）在x=1处取得极值，有g′（1）=0，所以a=8．
（2）g（x）=x2-7x-8ln（1+x）+9lnx（x＞0）
g′(x)＝2x−7−
8
1+x+
9
x＝
(x−1)(x−3)(2x+3)
x(x+1)(x＞0)，
由g′（x）=0，得x=1或x=3
函数g（x）增区间（0，1），减区间（1，3），
所以函数g（x）在x=1处取得极大值且g（x）max=g（1）=-6-8ln2
不等式m-8ln2≥g（x），对0≤x≤3成立，等价于m-8ln2≥g（x）max成立
∴m≥-6
（3）设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））．C（x3，f（x3）），且x1＜x2＜x3，x2＝
x1+x3
2，
f′(x)＝
8ex
1+ex−9＝
−9−ex
1+ex＜0恒成立，∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减．
∴f（x1）＞f（x2）＞f（x3），
∴
BA＝(x1−x2 ， f(x1)−f(x2))，
BC＝(x3−x2 ， f(x3)−f(x2))，
∴
BA•
BC＝(x3−x2
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；三角形的形状判断．
考点点评： 本题考查实数值的求法，不等式的证明，等腰三角形的判断．综合性强，难度大，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
