(2010•沈阳三模)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2+1,在x=1处有极值为11,则f(-1)=( )
A.3
B.7或21
C.31
D.3或31
解题思路:根据函数在x=1处有极值时说明函数在x=1处的导数为0,又因为f′(x)=3x2+2ax+b,所以得到:f′(1)=3+2a+b=0
又因为f(1)=11,所以可求出a与b的值确定解析式,最终将-1代入求出答案.
∵f′(x)=3x2+2ax+b,
又∵函数f(x)=x3+ax2+bx+a2+1,在x=1处有极值为11
∴f′(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b+a2+1=11
解得:
a=−3
b=3,或
a=4
b=−11,
∴f(x)=x3-3x2+3x+10或f(x)=x3+4x2-11x+17
∴f(-1)=3或31.
故选D.
点评:
本题考点: 函数的概念及其构成要素.
考点点评: 本题主要考查导数为0时取到函数的极值的问题,这里多注意联立方程组求未知数的思想.
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