已知函数f（x）=lnax（a≠0，a∈R），g(x)＝x−1x．
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解题思路：（I）把a=3代入化简后不等式易解；
（Ⅱ）把恒成立问题转化为函数的最值来求解；
（Ⅲ）设出切点，用导数工具刻画出函数的单调性和关键点，进而得出切线的情况．
（I）当a=3时，原不等式可化为：1+eln3x+[x−1/x]＞0；
等价于
1+3x+
x−1
x＞0
3x＞0，解得x＞
1
3，
故解集为(
1
3，+∞)
（Ⅱ）∵lnax≥
x−1
x对x≥1恒成立，所以lna+lnx≥
x−1
x⇒lna≥1−
1
x−lnx，
令h(x)＝1−
1
x−lnx，h′(x)＝
1
x2−
1
x≤0(x≥1)，可得h（x）在区间[1，+∞）上单调递减，
故h（x）在x=1处取到最大值，故lna≥h（1）=0，可得a=1，
故a的取值范围为：[1，+∞）
（Ⅲ）假设存在这样的切线，设切点T（x0，lnx0−
x0−1
x0），
∴切线方程：y+1=
x0−1
x02(x−1)，将点T坐标代入得：lnx0−
x0−1
x0+1＝
(x0−1)2
x02
即lnx0+
3
x0−
1
x02−1＝0，①
设g（x）=
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；其他不等式的解法．
考点点评： 本题为函数与导数的综合，涉及不等式的解法和函数恒成立问题以及切线问题，属中档题．
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