设S n 为数列{a n }的前n项和,已知a 1 ≠0,2a n -a 1 =S 1 ·S n ,n∈N * .
1个回答
(1) a 1=1 a 2=2 a n=2 n-1(2) B n=1+(n-1)·2 n
解:(1)令n=1,得2a 1-a 1=
,即a 1=
.
因为a 1≠0,所以a 1=1.
令n=2,得2a 2-1=S 2=1+a 2,解得a 2=2.
当n≥2时,由2a n-1=S n,2a n-1-1=S n-1两式相减,
得2a n-2a n-1=a n,即a n=2a n-1.
于是数列{a n}是首项为1,公比为2的等比数列.
因此,a n=2 n-1.所以数列{a n}的通项公式为a n=2 n-1.
(2)由(1)知,na n=n·2 n-1.
记数列{n·2 n-1}的前n项和为B n,
于是B n=1+2×2+3×2 2+…+n×2 n-1,①
2B n=1×2+2×2 2+3×2 3+…+n×2 n.②
①-②,得-B n=1+2+2 2+…+2 n-1-n·2 n=2 n-1-n·2 n.
从而B n=1+(n-1)·2 n.
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