（1）∵S 1=1，
S n+1
S n =
n+c
n ，
∴a n+1=S n+1-S n=
c
n S n ，-------------------------（2分）
∴a 1=S 1=1，a 2=cS 1=c，a 3=
c
2 S 2 =
c
2 (1+c) ．
∵a 1，a 2，a 3成等差数列，
∴2a 2=a 1+a 3，
即2c=1+
c(1+c)
2 ，
∴c 2-3c+2=0．---------------------------------------------------（5分）
解得c=2，或c=1（舍去）．-----------------------------------------------------------------（6分）
（2）∵）∵S 1=1，
S n+1
S n =
n+2
n ，
∴S n=S 1×
S 2
S 1 ×…×
S n
S n-1 =1×
3
1 ×
4
2 ×…×
n+1
n-1 =
n(1+n)
2 （n≥2），-------------------（8分）
∴a n=S n-S n-1=
n(1+n)
2 -
n(n-1)
2 =n（n≥2），------------------------------------------（9分）
又a 1=1，∴数列{a n}的通项公式是a n=n（n∈N *）．-----------------------------------（10分）
（3）证明：∵数列{b n}是首项为1，公比为c的等比数列，
∴b n=c n-1．---------（11分）
∵A 2n=a 1b 1+a 2b 2+…+a 2nb 2n，B 2n=a 1b 1-a 2b 2+…-a 2nb 2n，
∴A 2n+B 2n=2（a 1b 1+a 3b 3+…+a 2n-1b 2n-1），①
A 2n-B 2n=2（a 2b 2+a 4b 4+…+a 2nb 2n），②
①式两边乘以c得 c（A 2n+B 2n）=2（a 1b 2+a 3b 4+…+a 2n-1b 2n）③
由②③得（1-c）A 2n-（1+c）B 2n=A 2n-B 2n-c（A 2n+B 2n）
=2[（a 2-a 1）b 2+（a 4-a 3）b 4+…+（a 2n-a 2n-1）b 2n]
=2（c+c 3+…+c 2n-1）
=
2c(1- c 2n )
1- c 2 ，
将c=2代入上式，得A 2n+3B 2n=
4
3 （1-4 n）．-----------------------------------------（14分）
另证：先用错位相减法求A n，B n，再验证A 2n+3B 2n=
4
3 （1-4 n）．
∵数列{b n}是首项为1，公比为c=2的等比数列，∴ b n = 2 n-1 ．--------------（11分）
又是a n=n（n∈N *），所以A 2n=1×2 0+2×2 1+…+2n×2 2n-1①
B 2n=1×2 0-2×2 1+…-2n×2 2n-1②
将①乘以2得：
2A 2n=1×2 1+2×2 2+…+2n×2 2n③
①-③得：-A 2n=2 0+2 1+…+2 2n-1-2n×2 2n=
1(1- 2 2n )
1-2 -2n×2 2n，
整理得：A 2n=4 n（2n-1）+1-------------------------（12分）
将②乘以-2得：-2B 2n=-1×2 1+2×2 2-…+2n×2 2n④
②-④整理得：3B 2n=2 0-2 1+…+2 2n-1-2n×2 2n=
1(1- 2 2n )
1-(-2) -2n×2 2n=
1 -4 n
3 -2n×4 n，（13分）
∴A 2n+3B 2n=
4
3 （1-4 n）-----------------------------------------（14分）
