已知数列{a n }的前n项和为S n ，且S n =n（n+1）（n∈N * ）．
1个回答
（Ⅰ）当n=1时，a 1=S 1=2，
当n≥2时，a n=S n-S n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，
知a 1=2满足该式，
∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（2分）
（Ⅱ）∵ a n =
b 1
3+1 +
b 2
3 2 +1 +
b 3
3 3 +1 +…+
b n
3 n +1 （n≥1）①
∴ a n+1 =
b 1
3+1 +
b 2
3 2 +1 +
b 3
3 3 +1 +…+
b n
3 n +1 +
b n+1
3 n+1 +1 ②（4分）
②-①得：
b n+1
3 n+1 +1 = a n+1 - a n =2 ，
b n+1=2（3 n+1+1），
故b n=2（3 n+1）（n∈N *）．（6分）
（Ⅲ） c n =
a n b n
4 =n（3 n+1）=n•3 n+n，
∴T n=c 1+c 2+c 3+…+c n=（1×3+2×3 2+3×3 3+…+n×3 n）+（1+2+…+n）（8分）
令H n=1×3+2×3 2+3×3 3+…+n×3 n，①
则3H n=1×3 2+2×3 3+3×3 4+…+n×3 n+1②
①-②得：-2H n=3+3 2+3 3+…+3 n-n×3 n+1
=
3(1- 3 n )
1-3 -n× 3 n+1
∴ H n =
(2n-1)× 3 n+1 +3
4 ，…（10分）
∴数列{c n}的前n项和 T n =
(2n-1)× 3 n+1 +3
4 +
n(n+1)
2 …（12分）
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