设函数f（x）在（-∞，+∞）上有定义，在区间[0 - 已解决

设函数f（x）在（-∞，+∞）上有定义，在区间[0，2]上，f（x）=x（x2-4），若对任意的x都满足f（x）=kf（

设函数f（x）在（-∞，+∞）上有定义，在区间[0，2]上，f（x）=x（x²-4），若对任意的x都满足f（x）=kf（x+2），其中k为常数．

（Ⅰ）写出f（x）在[-2，0]上的表达式；

（Ⅱ）问k为何值时，f（x）在x=0处可导．

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解题思路：（I）为了求f（x）在[-2，0]上的表达式，需要利用区间[0，2]上，f（x）=x（x²-4）和f（x）=kf（x+2），因此需要通过换元x+2将区间[-2，0]转化成[0，2]；

（II）根据（1）求出的f（x）在[-2，0]（与k相关）的表达式以及已知区间[0，2]上，f（x）=x（x²-4），利用左右导数存在相等，来推导在x=0可导的k值．

（Ⅰ）：

当x∈[-2，0]时，x+2∈[0，2]，

而 f（x）=kf（x+2），且在区间[0，2]上，有：f（x）=x（x²-4），

∴在x+2∈[0，2]上，f（x+2）=（x+2）[（x+2）²-4]，

∴f（x）=kf（x+2）=k（x+2）[（x+2）²-4]=kx（x+2）（x+4），x∈[-2，0]．

（Ⅱ）：

由（I）知x∈[-2，0]时，f（x）=kx（x+2）（x+4）

∴f′−(0)＝

lim

x→0−

f(x)−f(0)

x−0=

lim

x→0−

kx(x+2)(x+4)

x＝8k

又区间[0，2]上，f（x）=x（x²-4）

∴f′+(0)＝

lim

x→0+

f(x)−f(0)

x−0=

lim

x→0+

x(x2−4)

x＝−4

要使f（x）在x=0处可导，

必有：f′_-（0）=f′₊（0），

即：8k=-4

∴k＝−

2，

从而当k＝−

2时，f（x）在x=0处可导．

点评：

本题考点：分段函数的求导．

考点点评：此题考查分段函数表达式的求法，需要将已知一段的表达式，通过换元法，转化到所要求的区间的表达式；以及函数在某一点可导，需要通过求出左右导数存在且相等，来推导未知数的值．

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