设定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），对任意的x∈（0，+∞），都有

设定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，且f（1）=2．若对任意的x∈[-3，3]都有f（x）≤a，则实数a的取值范围为______．

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解题思路：可通过赋值法得到f（x）为R上的奇函数，再利用函数单调性的定义分析得到f（x）为[-3，3]上的增函数，求得x∈[-3，3]时f（x）的最大值即可．

∵义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），

∴f（0+0）=2f（0），

∴f（0）=0；令y=-x，

f（x）+f（-x）=f（0）=0，

∴f（-x）=-f（x），

∴函数f（x）为R上的奇函数；

∵x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，

∴当-3≤x1＜x2≤3时，

f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＞0，

∴f（x2）＞f（x1），

∴f（x）在[-3，3]上是增函数，

又x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，且f（1）=2，

∴f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=6，由题意可得，x∈[-3，3]时，-6≤f（x）≤6，

又对任意的x∈[-3，3]都有f（x）≤a，

∴a≥6，即实数a的取值范围为[6，+∞）．

故答案为：[6，+∞）．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法的应用，得到f（x）为R上的奇函数是基础，判断f（x）在[-3，3]上是增函数是关键，属于中档题．

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