设函数f（x）在（-∞，+∞）上有定义，在区间[0，2]上，f（x）=x（x2-4），若对任意的x都满足f（x）=kf（
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解题思路：（I）为了求f（x）在[-2，0]上的表达式，需要利用区间[0，2]上，f（x）=x（x2-4）和f（x）=kf（x+2），因此需要通过换元x+2将区间[-2，0]转化成[0，2]；
（II）根据（1）求出的f（x）在[-2，0]（与k相关）的表达式以及已知区间[0，2]上，f（x）=x（x2-4），利用左右导数存在相等，来推导在x=0可导的k值．
（Ⅰ）：
当x∈[-2，0]时，x+2∈[0，2]，
而 f（x）=kf（x+2），且在区间[0，2]上，有：f（x）=x（x2-4），
∴在x+2∈[0，2]上，f（x+2）=（x+2）[（x+2）2-4]，
∴f（x）=kf（x+2）=k（x+2）[（x+2）2-4]=kx（x+2）（x+4），x∈[-2，0]．
（Ⅱ）：
由（I）知x∈[-2，0]时，f（x）=kx（x+2）（x+4）
∴f′−(0)＝
lim
x→0−
f(x)−f(0)
x−0=
lim
x→0−
kx(x+2)(x+4)
x＝8k
又区间[0，2]上，f（x）=x（x2-4）
∴f′+(0)＝
lim
x→0+
f(x)−f(0)
x−0=
lim
x→0+
x(x2−4)
x＝−4
要使f（x）在x=0处可导，
必有：f′-（0）=f′+（0），
即：8k=-4
∴k＝−
1
2，
从而当k＝−
1
2时，f（x）在x=0处可导．
点评：
本题考点： 分段函数的求导．
考点点评： 此题考查分段函数表达式的求法，需要将已知一段的表达式，通过换元法，转化到所要求的区间的表达式；以及函数在某一点可导，需要通过求出左右导数存在且相等，来推导未知数的值．
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