奥数题：若关于x的方程ax的平方+2乘（a-3)x+a-2=0至少有一个整数根,且a为整数,求a的值
1个回答

ax^2+2(a-3)x+a-2=0

化为a(x^2+2x+1)=6x+2

即a=2(3x+1)/(x+1)^2

因为3x+1与x+1的最大公约数只能为1或2,所以只能有：

1）当3x+1与x+1互质时,2x+1只能被1或2整除,

被1整除,得：(x+1)^2=1,得：x=0,-2,此时a=2,-10

被2整除,此时分母被4整除,但分子只有一个因子2,因此a不为整数,舍去

2）当3x+1与x+1最大公约数为2时,设x+1=2m,则3x+1=6m-2

a=2(6m-2)/(4m^2)=(3m-1)/m^2,此时3m-1与m互质,只能有：m=1或-1

得：a=2或-4

因此综合得：a=2,-4,-10.

相关问题