四边形ABCD中E为AB上一点 三角形ADE和三角形BCE都是等边三角形 AB、CD、CD、DA的中点分别是P、Q、M、
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【思路】 首先构造平面直角坐标系,再证明四边形PQMN是菱形,然后求对角线MP、NQ的长度,最后求菱形面积.（详见插图,插图链接地址在最后）定义平面直角坐标系,令原点与A重合,x轴与线段AB重合（如图所示） 则各点坐标为A(0,0),B(10,0),E(6,0)∵△ADE和△BCE都是等边三角形根据三线合一定理,易得点C、D坐标位置为 D(3,3√3),C(8,2√3)根据线段中点坐标的性质 AB中点P的坐标为 P[ (0+10)/2 ,(0+0)/2 ] ,即P(5,0)同理有,中点Q、M、N的坐标分别为 Q(9,√3),M(11/2 ,5√3 /2),N(3/2 ,3√3 /2)连接AC、BD∵P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点∴PQ = MN = (1/2)AC,PN = QM = (1/2)BD （三角形中位线定理） 而,AC = √【(8-0)² + (2√3-0)²】 = √76 = 2√19 BD = √【(10-3)² + (3√3-0)²】 = √76 = 2√19即,AC = BD = 2√19∴PQ = MN = PN = QM = (1/2)*2√19 = √19∴四边形PQMN为菱形∴S菱形PQMN = (1/2)MP*NQ （公式：菱形面积 = 两对角线乘积÷2） 而,MP = √【(11/2 - 5)² + (5√3/2 - 0)²】 = √19 NQ = √【(9 - 3/2)² + (√3 - 3√3/2)²】 = √57∴S菱形PQMN = (1/2)*√19*√57 = 19*(√3)/2 ≈ 16.45【插图链接】
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