（2006•临沂）附加题：如图，PA为⊙O切线，A - 已解决

（2006•临沂）附加题：如图，PA为⊙O切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点E，交AC于点F，点M

（2006•临沂）附加题：

如图，PA为⊙O切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点E，交AC于点F，点M为

的中点．

求证：AM⊥PF．

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解题思路：已知M是弧BC的中点，即∠BAM=∠FAM，因此可通过证△AEF是等腰三角形，从而根据等腰三角形三线合一的特点，可得出AM⊥PF的结论；∠AEF是△APE的外角，则∠AEF=∠APF+∠PAB；同理可得∠AFP=∠FPC+∠C；由弦切角定理知：∠PAB=∠C，由PF平分∠APC知：∠APF=∠CPF；故∠AEF=∠AFE，由此得证．

证明：∵PF平分∠APC，

∴∠1=∠2，

又∵PA是⊙O的切线，

∴∠C=∠PAB．

∵∠AEF=∠1+∠PAB，∠AFE=∠2+∠C，

∴∠AEF=∠AFE，即AE=AF．

∵M是

BC的中点，

∴∠BAM=∠CAM．

∴AM⊥PF．

点评：

本题考点：切线的性质．

考点点评：综合考查了三角形外角的性质、弦切角定理、圆周角定理的推论和等腰三角形的判定和性质．

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