如图，抛物线y=ax 2 +bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．
1个回答
（1）抛物线的解析式为y=﹣
x 2+
x+4；
（2）线段PQ的最大值为
；
（3）符合要求的点M的坐标为（
，9）和（
，﹣11）．
试题分析：（1）如图1，易证BC=AC，从而得到点B的坐标，然后运用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）如图2，运用待定系数法求出直线AB的解析式．设点P的横坐标为t，从而可以用t的代数式表示出PQ的长，然后利用二次函数的最值性质就可解决问题；
（3）由于AB为直角边，分别以∠BAM=90°（如图3）和∠ABM=90°（如图4）进行讨论，通过三角形相似建立等量关系，就可以求出点M的坐标．
试题解析：（1）如图1，
∵A（﹣3，0），C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
∵∠AOC=90°，
∴AC=5．
∵BC∥AO，AB平分∠CAO，
∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．
∴BC=AC．
∴BC=5．
∵BC∥AO，BC=5，OC=4，
∴点B的坐标为（5，4）．
∵A（﹣3.0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax 2+bx+c上，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为y=﹣
x 2+
x+4；
（2）如图2，
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∵A（﹣3.0）、B（5，4）在直线AB上，
∴
解得：
∴直线AB的解析式为y=
x+
．
设点P的横坐标为t（﹣3≤t≤5），则点Q的横坐标也为t．
∴y P=
t+
，y Q=﹣
t 2+
t+4．
∴PQ=y Q﹣y P=﹣
t 2+
t+4﹣（
t+
）
=﹣
t 2+
t+4﹣
t﹣
=﹣
t 2+
+
=﹣
（t 2﹣2t﹣15）
=﹣
[（t﹣1） 2﹣16]
=﹣
（t﹣1） 2+
．
∵﹣
＜0，﹣3≤1≤5，
∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为
．
∴线段PQ的最大值为
；
（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．
抛物线的对称轴为x=﹣
=﹣
=
．
∴x H=x G=x M=
相关问题
