解题思路：（1）根据已知抛物线，利用对称轴公式代入数据即可得出对称轴，同时也可以得出C点的坐标，利用AC=BC，即可得出A点的坐标和B点的坐标，代入抛物线方程即可得出a的值，即得出该抛物线的解析式；
（2）设正方形的边长为m（m＞0），首先利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后即可求得正方形的边长；
（3）作BK⊥x轴于K，再取M（-[3/2]，0）和N（9，0），根据△DOP∽△PQB 即可求得点P的坐标．
（1）∵抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点，
∴当x=0时，y=4，
∴C（0，4），且抛物线的对称轴是直线x=-[−5a/2a]=[5/2]，
∴B（5，4），
∵BC∥x轴，AB平分∠CAO，
∴∠CAB=∠BAO，∠BAO=∠ABC，
∴∠CAB=∠ABC，
∴AC=BC=5，
∴AO=
AC2−OC2=3，
即A（-3，0），
∴9a+15a+4=0，
解得a=-[1/6]
∴抛物线的解析式是y=-[1/6]x2+[5/6]x+4；
（2）不妨设正方形的边长为m（m＞0），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
−3k+b＝0
5k+b＝4，
解得：
k＝
1
2
b＝
3
2，
∴直线AB的解析式为：y=[1/2]x+[3/2]，
当y=m时，x=2m-3，
∴点E（2m-3，m），
∴点F（3m-3，m）
代入抛物线得：-[1/6]（3m-3）2+[5/6]（3m-3）+4=m，
即3m2-9m=0，
解得：m=0或3；
∴正方形EFGH的边长为3．
（3）作BK⊥x轴于K，再取M（-[3/2]，0）和N（9，0）
只有当点P落在M、O之间和K、N之间各一个位置能使∠DPB=45°，
如图，当点P在KN上时，再作PQ⊥BN于Q，可证△DOP∽△PQB 有[DO/OP]=[PQ/QB]，
先求出D（0，[3/2]），再设P（x，0），
∴[3/2]（4
2-
9−x
2）=x•
9−x
2
经整理得，2x2-15x-3=0，解得x=
15±
249
4，应取x=
15+
249
4…（8分）
同理，当当点P在AO上时，4（
3
2
2-
x+＋f(3
2，
2)）=
x+＋f(3
2，
2)（5-x），
经整理得，2x2-15x-3=0，解得x=
15±
249
4，应取x=
15−
249
4…（10分）
综上所述，在x轴上存在符合要求的两点P（
15±
249
4，0）．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
