已知函数f（x）=x（x-a）（x-b）．
1个回答
解题思路：（I）根据条件写出函数和导函数，即在x=2处取得极小值．函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，写出关于t的不等式，解出结果．
（II）写出要用的函数式，根据条件中的恒成立问题，得到x2-bx+1≥0对任意的x∈[2，+∞）恒成立，看出函数的单调性，根据最值之间的关系写出结果．
（Ⅰ）当a=0，b=3时，f（x）=x3-3x2，f'（x）=3x2-6x，
令f'（x）=0得x=0，2，根据导数的符号可以得出函数f（x）在x=0处取得极大值，
在x=2处取得极小值．函数f（x）在（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，
则只要t＜0且t+3＞2即可，即只要-1＜t＜0即可．
所以t的取值范围是（-1，0）．
（Ⅱ）当a=0时，
f(x)
x+1≥0对任意的x∈[2，+∞）恒成立，
即x2-bx+1≥0对任意的x∈[2，+∞）恒成立，
也即b≤x+
1
x在对任意的x∈[2，+∞）恒成立．
令g(x)＝x+
1
x，则g′(x)＝1−
1
x2＝
x2−1
x2＞0，x∈[2， +∞)．
则函数g(x)＝x+
1
x在x∈[2，+∞）上单调递增，
当x=2时取最小值g(2)＝
5
2，故只要b≤
5
2即可．
所以b的取值范围是(−∞，
5
2]．
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题．
考点点评： 本题看出函数的极值的应用和函数的恒成立问题，解题的关键是对于恒成立问题的理解，用函数的最值思想解决恒成立问题是常见的一种形式．
相关问题
