解题思路：（I）求导数，确定函数的单调性，即可求函数的极值；
（Ⅱ）当a=0时，
f(x)
x
2
-lnx=x-b-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，即b≤x-lnx在[1，+∞）上恒成立，求出右边的最小值，即可得到结论；
（Ⅲ）利用向量知识，确定
(a−b
)
2
＝
9
ab
，进而可得
(a+b)
2
＝(a−b)
2
+4ab＝
9
ab
+4ab
，利用基本不等式，即可得到结论．
（I）当a=0，b=3时，f（x）=x3-3x2
∴f′（x）=3x2-6x=3x（x-2）
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞2，令f′（x）＜0，可得0＜x＜2
∴x=0时，函数取得极大值为0，x=2时，函数取得极小值为-4；
（Ⅱ）当a=0时，
f(x)
x2-lnx=x-b-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴b≤x-lnx在[1，+∞）上恒成立
令g（x）=x-lnx，则g′(x)＝
x−1
x
∵x＞1，∴g′(x)＝
x−1
x＞0
∴g（x）在[1，+∞）上是增函数
∴g（x）min=g（1）=1
∴b≤1；
（Ⅲ）由题意，
OA•
OB＝0，∴st+f（s）f（t）=0
∴st+st（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=0①
∴f′（x）=3x2-2（a+b）x+ab
∵s，t是f′（x）=0的两根
∴s+t=
2(a+b)
3，st=[ab/3]＞0
∴①可化为（[1/3a2−
ab
3]）（[1/3b2−
ab
3]）=-1
∴ab（a-b）2=9
∴(a−b)2＝
9
ab
∴(a−b)2＝
9
ab
∴(a+b)2＝(a−b)2+4ab＝
9
ab+4ab≥12
当且仅当[9/ab＝4ab，即ab=
3
2]时取“=”
∴a+b的取值范围是[2
3，+∞）．
点评：
本题考点： 根据实际问题选择函数类型；导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
