如图，在直四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，已知DC=DD 1 =2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥D

如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知DC=DD 1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC。

（1）设E是DC的中点，求证：D 1E∥平面A 1BD；

（2）求二面角A 1-BD-C 1的余弦值。

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（1）证明：连结B，则四边形DABE为正方形

∴BE=AD=A 1D 1，且BE∥AD∥A 1D 1
∴四边形A 1D 1EB为平行四边形

∴D 1E∥A 1B

又D 1E

平面A 1BD，A 1B

平面A 1BD，

∴D 1E∥平面A 1BD。

（2）以D为原点，DA，DC，DD 1所在直线分别为x轴，y轴， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA=1，则 D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C 1（0，2，2），A 1（1，0，2）

∴

设 n =（x，y，z）为平面A 1BD 的一个法向量，由

得

取z=1，则 n =（-2，2，1）

又

设 m =（x 1，y 1，z 1）为平面C 1BD的一个法向量

由

得

取z 1=1，则 m =（1，-1，1）

设 m 与 n 的夹角为α，二面角A 1-BD-C 1为θ，显然θ为锐角

∴

∴

即所求二面角A 1-BD-C 1的余弦值为

。

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