已知两条异面直线BA,DC与两平行平面α,β分别交 - 已解决 - 学校大全

已知两条异面直线BA,DC与两平行平面α,β分别交于B,A和D,C,M,N分别是AB,CD的中点.求证：MN平行平面α.

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证法一：

连接AN并延长,则必与平面α相交,设交点为E

又设由相交直线EA和DC所决定的平面为θ,

易知AC和DE是平面θ与两个平行平面的交线,

所以必有AC‖DE.

再由CN=DN,可证得△ACN≌△EDN

从而AN=EN

即点N也是AE的中点,

从而MN是△ABE的中位线.

所以MN‖BE

因为BE是平面α内的一条直线,

所以必有MN‖α

证法二（略述）：

设平面α,β间的距离为h

分别过点A和M作平面α的垂线,然后可证明点M到平面α的距离等于h/2.

再由同理可证点N到平面α的距离也等于h/2.

这样就证明了结论.

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