（2014•通州区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心点A在x轴上，直径OB=8，点C是半圆上一点，∠COA

（2014•通州区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心点A在x轴上，直径OB=8，点C是半圆上一点，∠COA=60°，二次函数y=a（x-h）2+k的图象经过点A、B、C．动点P和点Q同时从点O出发，点P以每秒1个单位的速度从O点运动到点C，点Q以每秒两个单位的速度在OB上运动，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动．点D是点C关于二次函数图象对称轴的对称点，顺次连接点D、P、Q，设点P的运动时间为t秒，△DPQ的面积为y．

（1）求二次函数y=a（x-h）2+k的表达式；

（2）当∠DQP=120°时，直接写出点P的坐标；

（3）在点P和点Q运动的过程中，△DPQ的面积存在最大值吗？如果存在，请求出此时的t值和△DPQ面积的最大值；如果不存在，请说明理由．

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（1）连接AC，

∵A为半圆的圆心，OB=8，

∴AC=AO=4，

∵∠COA=60°，

∴△AOC为等边三角形，

∴C(2，2

3)，

易知A（4，0），B（8，0）

∴二次函数图象的对称轴为x=6，

将点A（4，0），C(2，2

3)分别代入y=a（x-6）2+k，

解得：a＝

3

6，

∴y＝

3

6(x−6)2−

2

3

3．

（2）过P作PH⊥OA于H，

∵∠CAO=60°，

∴∠CAB=120°

∵∠DQP=120°，

∴∠CAB=∠PQA，

∴Q和A重合，

∴P(1，

3)．

（3）△DPQ的面积存在最大值，理由如下：

连接BC、DB，延长DB、PQ交于点E，再连接CD，

∵OP=t，OQ=2t，

∵OC=4，OB=8，

∴[OP/OC＝

OQ

OB]，

∵∠POQ=∠COB，

∴△OPQ∽△OCB，

∴∠OPQ=∠OCB，

∵OB为半圆的直径，

∴∠OCB=90°，

∴∠OPQ=90°，

在Rt△OPQ中，PQ=

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