数列{an}满足a1=1，an+1=an+n+1（n∈N*），则[1a1+1a2+…+1a2013
2个回答
解题思路：由已知条件，利用累加法求出an=
n(n+1)
2
，由此利用裂基求和法能求出
1
a
1
+
1
a
2
+…+
1
a
2013
的值．
∵{an}满足a1=1，an+1=an+n+1（n∈N*），
a2-a1=1+1，
a3-a2=2+1，
a4-a3=3+1，
…
an-an-1=（n-1）+1，
∴an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=1+（1+1）+（2+1）+（3+1）+…+[（n-1）+1]
=n+1+2+3+…+（n-1）
=
n(n+1)/2]，
∴[1
an＝
2
n(n+1)=2（
1/n−
1
n+1]），
∴[1
a1+
1
a2+…+
1
a2013
=2（1-
1/2]+[1/2]-[1/3]+…+[1/2013−
1
2014]）
=2（1-[1/2014]）
=[2013/1007]．
故答案为：[2013/1007]．
点评：
本题考点： 数列的求和．
考点点评： 本题考查数列前2013项的和的求法，解题时要注意累加法求通项公式和裂项求和法求前n项和的灵活运用，是中档题．
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