解题思路：（Ⅰ）利用数列{an}满足
a
1
＝
1/3
，
a
n+1
＝
a
2
n
a
2
n
−
a
n
+1
(n＝1，2，…)
，分别代入，即可求得a2，a3；
（Ⅱ）由
a
n+1
＝
a
2
n
a
2
n
−
a
n
+1]知[1
a
n+1
＝
1
a
2
n
−
1
a
n
+1
，从而可得
a
n
＝
a
n
1−
a
n
−
a
n+1
1−
a
n+1
，代入即可得出结论；
（Ⅲ） 证明
1/2
−
1
3
2
n−1
＜
a
1
+
a
2
+…+
a
n
＜
1
2
−
1
3
2
n
]等价于证明[1/2
−
1
3
2
n−1
＜
1
2
−
a
n+1
1−
a
n+1
＜
1
2
−
1
3
2
n
]，
即证
3
2
n−1
＜
1−
a
n+1
a
n+1
＜
3
2
n
，再利用数学归纳法进行证明．
（Ⅰ）∵数列{an}满足a1＝
1
3，an+1＝
a2n
a2n−an+1(n＝1，2，…)．
∴a2＝
1
7，a3＝
1
43…（2分）
（Ⅱ）证明：由an+1＝
a2n
a2n−an+1知[1
an+1＝
1
a2n−
1
an+1，
1
an+1−1＝
1
an(
1
an−1)．（1）
所以
an+1
1−an+1＝
a2n
1−an＝
an
1−an−an，
即an＝
an
1−an−
an+1
1−an+1．…（5分）
从而a1+a2+…+an=
点评：
本题考点： 数学归纳法；数列递推式；数列与不等式的综合．
考点点评： 本题考查数列递推式，考查数列与不等式，考查数学归纳法，正确运用数列递推式，及数学归纳法的证题步骤是解题的关键．
1年前
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