如图，在Rt△AOB中， ∠OAB= π 6 ，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且
1个回答
（I）由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角，
又∵二面角B-AO-C是直二面角，
∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，
∴CO⊥平面AOB，
又CO⊂平面COD，
∴平面COD⊥平面AOB．（4分）
（II）解法一：作DE⊥OB，垂足为E，连接CE（如图），则DE ∥ AO，
∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角．
在 Rt△COE中，CO=BO=2， OE=
1
2 BO=1 ，
∴ CE=
C O 2 +O E 2 =
5 ．
又 DE=
1
2 AO=
3 ．
∴ CD=
C E 2 +D E 2 =2
2
∴在Rt△CDE中， cos∠CDE=
DE
CD =
3
2
2 =
6
4 ．
∴异面直线AO与CD所成角的余弦值大小为
6
4 ．（9分）
解法二：建立空间直角坐标系O-xyz，如图，
则O（0，0，0）， A(0，0，2
3 ) ，C（2，0，0）， D(0，1，
3 ) ，
∴
OA =(0，0，2
3 ) ，
CD =(-2，1，
3 ) ，
∴ cos＜
OA ，
CD ＞=
OA •
CD
|
OA |•|
CD | =
6
2
3 •2
2 =
6
4 ．
∴异面直线AO与CD所成角的余弦值为
6
4 ．（9分）
（III）由（I）知，CO⊥平面AOB，
∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角，
且 tanCDO=
OC
OD =
2
OD ．当OD最小时，∠CDO最大，这时，OD⊥AB，垂足为D， OD=
OA•OB
AB =
3 ， tanCDO=
2
3
3 ，
∴CD与平面AOB所成角的最大时的正切值为
2
3
3 ．（14分）
相关问题
