解题思路：（1）一个极值点为x=1⇒f′（1）=0⇒a=-1，在利用函数f（x）在区间[α，β]上是单调的⇒b的取值范围．
（2）函数f（x）在区间[α，β]上是单调⇒|f（x1）-f（x2）|≤f（α）-f（β）再利用a的值和b的取值范围⇒|f（x1）-f（x2）|≤1．
（1）∵f（x）=x3-x2+ax+b，
∴f′（x）=3x2-2x+a．
∵f（x）=x3-x2+ax+b的一个极值点为x=1，
∴f′（1）=3×12-2×1+a=0．
∴a=-1．（2分）
∴f′（x）=3x2-2x-1=（3x+1）（x-1），
当x＜−
1
3时，f′（x）＞0；当−
1
3＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0；
∴函数f（x）在(−∞，−
1
3]上单调递增，在[−
1
3，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
∵方程ax2+x+b=0的两个实根为α，β，即x2-x-b=0的两根为α，β（α＜β），
∴α＝
1−
1+4b
2，β＝
1+
1+4b
2．
∴α+β=1，αβ=-b，α−β＝−
1+4b．（4分）
∵函数f（x）在区间[α，β]上是单调的，
∴区间[α，β]只能是区间(−∞，−
1
3]，[−
1
3，1]，[1，+∞）之一的子区间．
由于α+β=1，α＜β，故[α，β]⊆[−
1
3，1]．
若α＜0，则α+β＜1，与α+β=1矛盾．
∴[α，β]⊆[0，1]．
∴方程x2-x-b=0的两根α，β都在区间[0，1]上．（6分）
令g（x）=x2-x-b，g（x）的对称轴为x＝
1
2∈[0，1]，
则
g(0)＝−b≥0＋hfill
g(1)＝−b≥0
点评：
本题考点： 二次函数的性质．
考点点评： 函数的极值表示函数在某一点附近的情况，可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，也就是说，是极值点的充分条件是在这一点的两侧导数值异号．
