解题思路：（Ⅰ）求得函数的导数，利用函数在某一点处导数的几何意义：f'（2）=-3以及f（2）=5，列方程组求解参数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中得到的函数解析式y=f（x）的图象与
y＝
1
3
f′(x)+5x+m
的图象有三个不同的交点，转化为方程
f（x）=
1
3
f′(x)+5x+m
有三个不相等的实根，进一步转化为函数g（x）=f（x）-
1
3
f′(x)+5x+m
的图象与x轴有三个不同的交点，于是利用函数导数可得新函数g（x）的极值，通过判断极值的符号可得结论．
（Ⅲ）根据函数f（x）=x3-6x2+9x+3，可知极值点为A（1，7），B（3，3），进而证明线段AB中点P（2，5）在曲线y=f（x）上，且该曲线关于点P（2，5）成中心对称．
（Ⅰ）由题意得f'（x）=3ax2-12ax+3b，f'（2）=-3，
∵图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0．
∴x=2时，y=5，即f（2）=5，
∴
12a−24a+3b＝−3
8a−24a+6b+b＝5即
4a−b＝1
−16a+7b＝5
解得a=1，b=3，
∴f（x）=x3-6x2+9x+3．（4分）
（Ⅱ）由f（x）=x3-6x2+9x+3，可得f'（x）=3x2-12x+9，
∴[1/3f′(x)+5x+m＝
1
3(3x2−12x+9)+5x+m=x2+x+3+m，
则由题意可得x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三个不相等的实根，
即g（x）=x3-7x2+8x-m的图象与x轴有三个不同的交点，g'（x）=3x2-14x+8=（3x-2）（x-4），
则g（x），g'（x）的变化情况如下表．
x (−∞，
2
3)
2
3] (
2
3，4) 4 （4，+∞）
g'（x） + 0 - 0 +
g（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗则函数f（x）的极大值为g(
2
3)＝
68
27−m，极小值为g（4）=-16-m．（6分）
y=f（x）的图象与y＝
1
3f′(x)+5x+m的图象有三个不同交点，则有：
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题考查函数的导数以及导数的几何意义，利用导数求解函数的单调性和极值问题，考查了函数的对称性，考查了函数与方程的思想，转化与化归的思想，综合性强．
