（2012•淄博一模）已知函数f（x）=alnx+bx2图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=0．
1个回答
解题思路：（I）求导函数，利用函数f（x）=alnx+bx2图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=0，建立方程组，从而可得函数y=f（x）的解析式；
（II）求导函数，确定函数的单调性与最值，从而可得不等式组，即可确定实数m的取值范围．
（I）求导函数可得f′(x)＝
a
x+2bx（x＞0）
∵函数f（x）=alnx+bx2图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=0
∴f′（1）=2，f（1）=-1
∴
a+2b＝2
b＝−1
∴a=4，b=-1
∴f（x）=4lnx-x2；
（II）函数g（x）=f（x）+m-ln4=4lnx-x2+m-ln4（x＞0），则g′(x)＝
4
x−2x（x＞0）
∴当x∈[
1
e，
2)时，g′（x）＞0；当x∈(
2，2]时，g′（x）＜0；
∴函数在[
1
e，
2)上单调增，在(
2，2]上单调减
∵方程g（x）=0在[
1
e，2]上恰有两解，
∴g(
1
e)≤0，g(
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；函数与方程的综合运用．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查函数与方程思想，属于中档题．
相关问题
