(2014•蚌埠二模)已知数列{an},{cn}满足条件:a1=1,an+1=2an+1,
c
n
=
1
(2n+1)(2n+3)
.
(1)求证数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{cn}的前n项和Tn,并求使得
T
n
>
1
a
m
对任意n∈N*都成立的正整数m的最小值.
解题思路:(Ⅰ)由an+1=2an+1,知an+1+1=2(an+1),由此能证明数列{an+1}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式.
(Ⅱ)由
c
n
=
1
(2n+1)(2n+3)
=
1
2
(
1
2n+1
−
1
2n+3
)
,用裂项求和法求出Tn=[n/6n+9],由此能求出使得
T
n
>
1
a
m
对任意n∈N*都成立的正整数m的最小值.
(本小题满分12分)
(Ⅰ)∵an+1=2an+1
∴an+1+1=2(an+1),
∵a1=1,a1+1=2≠0…(2分)
∴数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列.
∴an+1=2×2n−1,
∴an=2n−1.…(4分)
(Ⅱ)∵cn=
1
(2n+1)(2n+3)=
1
2(
1
2n+1−
1
2n+3),…(6分)
∴Tn=
1
2(
1
3−
1
5+
1
5−
1
7+…+
1
2n+1−
1
2n+3)
=[1/2(
1
3−
1
2n+3)=
n
3×(2n+3)=
n
6n+9].…(8分)
∵
Tn+1
Tn=
n+1
6n+15•
6n+9
n=
6n2+15n+9
6n2+15n=1+
9
6n2+15n>1,
又Tn>0,
∴Tn<Tn+1,n∈N*,即数列{Tn}是递增数列.
∴当n=1时,Tn取得最小值[1/15].…(10分)
要使得Tn>
1
am对任意n∈N*都成立,
结合(Ⅰ)的结果,只需[1/15>
1
2m−1],
由此得m>4.
∴正整数m的最小值是5.…(12分)
点评:
本题考点: 数列的求和;等比数列的性质.
考点点评: 本题考查数列是等比数列的证明,考查数列的通项公式的求法,考查满足条件的正整数的最小值的求法.解题时要认真审题,注意构造法和裂项求和法的合理运用.
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