(2014•蚌埠二模)已知数列{an},{cn}满足条件:a1=1,an+1=2an+1,cn=1(2n+1)(2n+3
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解题思路:(Ⅰ)由an+1=2an+1,知an+1+1=2(an+1),由此能证明数列{an+1}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式.

(Ⅱ)由

c

n

1

(2n+1)(2n+3)

1

2

(

1

2n+1

1

2n+3

)

,用裂项求和法求出Tn=[n/6n+9],由此能求出使得

T

n

1

a

m

对任意n∈N*都成立的正整数m的最小值.

(本小题满分12分)

(Ⅰ)∵an+1=2an+1

∴an+1+1=2(an+1),

∵a1=1,a1+1=2≠0…(2分)

∴数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列.

∴an+1=2×2n−1,

∴an=2n−1.…(4分)

(Ⅱ)∵cn=

1

(2n+1)(2n+3)=

1

2(

1

2n+1−

1

2n+3),…(6分)

∴Tn=

1

2(

1

3−

1

5+

1

5−

1

7+…+

1

2n+1−

1

2n+3)

=[1/2(

1

3−

1

2n+3)=

n

3×(2n+3)=

n

6n+9].…(8分)

Tn+1

Tn=

n+1

6n+15•

6n+9

n=

6n2+15n+9

6n2+15n=1+

9

6n2+15n>1,

又Tn>0,

∴Tn<Tn+1,n∈N*,即数列{Tn}是递增数列.

∴当n=1时,Tn取得最小值[1/15].…(10分)

要使得Tn>

1

am对任意n∈N*都成立,

结合(Ⅰ)的结果,只需[1/15>

1

2m−1],

由此得m>4.

∴正整数m的最小值是5.…(12分)

点评:

本题考点: 数列的求和;等比数列的性质.

考点点评: 本题考查数列是等比数列的证明,考查数列的通项公式的求法,考查满足条件的正整数的最小值的求法.解题时要认真审题,注意构造法和裂项求和法的合理运用.

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