各项均为正数的数列{a n }，满足a 1 =1， a 2n+1 - a 2n =2 （n∈N * ）．
1个回答
（1）因为 a n+1 2 - a n 2 =2 ，
所以数列 {
a 2n } 是首项为1，公差为2的等差数列．…（2分）
所以
a 2n =1+(n-1)×2=2n-1 ．…（4分）
因为a n＞0，所以 a n =
2n-1 （n∈N *）．…（6分）
（2）由（1）知， a n =
2n-1 ，所以
a n 2
2 n =
2n-1
2 n ．…（7分）
所以 S n =
1
2 +
3
2 2 +
5
2 3 +…+
2n-3
2 n-1 +
2n-1
2 n ，①…（8分）
则
1
2 S n =
1
2 2 +
3
2 3 +
5
2 4 +…+
2n-3
2 n +
2n-1
2 n+1 ，②…（9分）
①-②得，
1
2 S n =
1
2 +
2
2 2 +
2
2 3 +
2
2 4 +…+
2
2 n -
2n-1
2 n+1 …（11分）
=
1
2 +2(
1
2 2 +
1
2 3 +
1
2 4 +…+
1
2 n )-
2n-1
2 n+1 =
1
2 +2×
1
4 (1-
1
2 n-1 )
1-
1
2 -
2n-1
2 n+1 …（12分）
=
3
2 -
2n+3
2 n+1 ．…（13分）
所以 S n =3-
2n+3
2 n ．…（14分）
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