各项均为正数的等比数列｛an｝,满足a1=1,a(n+1)²-an²=2(n∈N+)； (1)求｛
2个回答
因为a(n+1)²-an²=2
所以数列{an²}是以a1²=1为首项,2为公差的等差列.
即an²=1+2(n-1)
即an=√(2n-1)
2、因为an²/2^n=(2n-1)/2^n=n/2^(n-1)-1/2^n
设数列{n/2^(n-1)}前n项和为Tn ,数列{1/2^n}前n项和为Pn
则Sn=Tn-Pn
Tn=1+2/2+3/2²+4/2³+.+n/2^(n-1)
(1/2)Tn=1/2+2/2²+3/2³+.+(n-1)/2^(n-1)+n/2^n
把上两式错项相减得
(1/2)Tn=1+1/2+1/2²+1/2³+.+1/2^(n-1)-n/2^n
(1/2)Tn=2(1-(1/2)^n)-n/2^n
Tn=4-(1/2)^(n-2)-n(1/2)^(n-1)=4-2^(2-n)-n*2^(1-n)
Pn=1/2+1/2²+1/2³+.+1/2^n=1-2^(-n)
Sn=Tn-Pn=4-2^(2-n)-n*2^(1-n)-1+2^(-n)=3-(2n+3)/2^n
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