设数列{a n }的各项均为正数，前n项和为S n ，已知 4 S n = a 2n +2 a n +1(n∈ N *
1个回答
（1）∵ 4 S n =
a 2n +2 a n +1 ，
∴当n≥2时， 4 S n-1 =
a 2n-1 +2 a n-1 +1 ．
两式相减得 4 a n =
a 2n -
a 2n-1 +2 a n -2 a n-1 ，
∴（a n+a n-1）（a n-a n-1-2）=0
∵a n＞0，∴a n-a n-1=2，
又 4 S 1 =
a 21 +2 a 1 +1 ，∴a 1=1
∴{a n}是以a 1=1为首项，d=2为公差的等差数列．
∴a n=a 1+（n-1）d=2n-1；
（2）由（1）知 S n =
(1+2n-1)n
2 = n 2 ，
假设正整数k满足条件，
则（k 2） 2=[2（k+2048）-1] 2
∴k 2=2（k+2048）-1，
解得k=65；
（3）证明：由 S n = n 2 得： S m = m 2 ， S k = k 2 ， S p = p 2
于是
1
S m +
1
S p -
2
S k =
1
m 2 +
1
p 2 -
2
k 2 =
k 2 ( p 2 + m 2 )-2 m 2 p 2
m 2 p 2 k 2
∵m、k、p∈N *，m+p=2k，
∴
k 2 ( p 2 + m 2 )-2 m 2 p 2
m 2 p 2 k 2
=
(
m+p
2 ) 2 ( p 2 + m 2 )-2 m 2 p 2
m 2 p 2 k 2 ≥
mp×2pm-2 m 2 p 2
m 2 p 2 k 2 =0 ．
∴
1
S m +
1
S p ≥
2
S k ．
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