已知数列{a n }中，a 1 =3，a 2 =5，S n 为其前n项和，且满足S n +S n-2 =2S n-1 +
1个回答
（1）由 S n + S n-2 =2 S n-1 + 2 n-1 得 a n = a n-1 + 2 n-1 (n≥3，n∈N*) ，
∵a 2=5，∴当n≥3时，a n=a 2+（a 3-a 2）+（a 4-a 3）+…+（a n-a n-1）=5+2 2+2 3+…+2 n-1=2 n+1，
经验证a 1=3，a 2=5也符合上式，
∴ a n = 2 n +1(n∈ N * ) ；
（2）由（1）可得 b n =
n
a n -1 =
n
2 n ，
∴ T n =
1
2 +
2
2 2 +
3
2 3 +…+
n
2 n ① ⇒
1
2 T n =
1
2 2 +
2
2 3 +…+
n-1
2 n +
n
2 n+1 ②，
①-②有：
1
2 T n =
1
2 +
1
2 2 +
1
2 3 +…+
1
2 n -
n
2 n+1 =1-
1
2 n -
n
2 n+1 ，
∴ T n =2-
n+2
2 n ；
（3）∵ f(x)= 2 x-1 ， c n =
1
a n a n+1 ，
∴ c n f(n)=
2 n-1
( 2 n +1)( 2 n+1 +1) =
1
2 (
1
2 n +1 -
1
2 n+1 +1 )(n∈N*) ，
∴Q n=c 1f（1）+c 2f（2）+…+c nf（n）
=
1
2 [(
1
2 1 +1 -
1
2 2 +1 )+(
1
2 2 +1 -
1
2 3 +1 )+…+(
1
2 n +1 -
1
2 n+1 +1 )]
=
1
2 (
1
1+2 -
1
2 n+1 +1 )＜
1
2 ×
1
3 =
1
6 ．
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