已知过两定点的一个交点O的动直线与两圆分别交于点A、B,求线段AB中点P的轨迹方程
如图,以O为原点,建立平面直角坐标系
因为两定圆均过原点O,故可设其方程分别 为：x2+y2-2ax-2by=0 ①
x2+y2-2cx-2dy=0 ②
当动直线斜率存在时,设其方程为
y=kx ③
将方程③分别与方程①、②联立,可得
设线段AB的中点为P（x,y）,则
④
∵点P在直线y=kx上
∴将 代入④,消去k,得：
整理得：x2+y2-(a+c)x-(b+d)y=0 ⑤
当动直线斜率不存在时,其方程为：x=0,分别代入①、②可得A（0,2b）,B(0,2d)
则AB的中点P为（0,b+d）,将此代入⑤式,仍成立.
∴所求动点P的轨迹方程为 x2+y2-(a+c)x-(b+d)y=0.
直线l过圆x^2+y^2=1和(x-2)^2+(y-2)^2=5的一个交点(0,1) 且被两圆截得的弦长相等 求l的方程
设圆x^2+y^2=1为圆c1,圆(x-2)^2+(y-2)^2=5为圆c2 厂为根号
1>,当斜率不存在时,直线l为y=0,此时直线y=0和圆c1所截得的炫长为2.而与圆c2所截得的炫长也为2(由勾股定理得来）,所以y=0成立
2>,当斜率存在时,设直线为y=kx+1,既kx-y+1=0.
设直线l到圆c1的距离为d1截得的炫长为s1,圆c1半径r1,到圆c2的距离为d2截得的炫长为s2,圆c2半径r2.
则d1=（|k x 0-0+1|）/(厂（k^2+(-1)^2)) 所以d1=1/厂（k^2+1)
同理可得d2=（|k x 2-2+1|）/(厂（k^2+(-1)^2)) 所以d2=|2k-1|/厂（k^2+1)
由勾股定理得r1^2=d1^2+(s1/2)^2
因为截得的炫长相等所以s1=s2 既 s1/2=s2/2 既 (s1/2)^2=（s2/2)^2
所以 r1^2-d1^2=r2^2-d2^2 带入数据整理得到k^2=k^2+4k+4 所以 k=-1
所以直线l为y=0 和 y=-x+1.
已知圆方程 求 关于一条 直线 对称的 圆的方程
圆 （X-3）的平方 +（Y-4）的平方=1 关于 直线 X+Y=0 对称的 圆的方程是__
本题不难,第一种思路是根据已知圆的半径和圆心坐标分别为r=1和O(3,4),求出未知圆的圆心坐标就可以了,具体如下:
解法一：设点O(3,4)关于直线 X+Y=
已知直线l过点A（1,4）,且与x轴和y轴正半轴分别交于M,N两点（1）原点到直线l的距离最大时求直线l的方程
（2）当△OMN最小时,求l的方程
(1) 此时OA与直线垂直
OA 的斜率为4
所以,直线的斜率为-1/4
方程为 y-4=-1/4 (x-1)
即 x+4y-17=0
(2) 设 ∠AMO=α
则∠MNO=90°-α
所以,横截距为 1+4/tanα
纵截距为4+1/tan(90°-α）=4+tanα
所以,S=(1+4/tanα)(4+tanα)
=8+tanα+16/tanα
≥8+2√16=8
当且仅当 tanα=16/tanα
即tanα=4时等号成立
所以 直线斜率为-4
方程为 y-4=-4 (x-1)
即 4x+y-8=0
