在三棱锥-ADC中,平面ABD垂直于平面ACD,若棱长AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°,求点D到平面ABC
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在三棱锥B-ADC中,平面ABD垂直于平面ACD,若棱长AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°,求点D到平面ABC的距离.
作BE⊥AD于E,平面ABD垂直于平面ACD,
所以BE⊥平面ACD,
AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°,
所以△ACD是等边三角形,BE=1/2,AE=√3/2,
由余弦定理,CE^2=1+3/4-√3/2=（7-2√3)/4,
所以BC^2=BE^2+CE^2=(4-√3)/2,
BC=√[(4-√3)/2],
作AF⊥BC于F,则BF=FC,
AF=√(AC^2-FC^2)=√[1-(4-√3)/8]=√[(4+√3)/8],
所以△ABC的面积S=(1/2)BC*AF=(1/2)√(13/16）=√13/8,
三棱锥B-ACD的体积V=(1/3)S△ACD*BE=(1/3)*(√3/4)*1/2=√3/24,
所以点D到平面ABC的距离=3V/S=(√3/8)/(√13/8)=√39/13.
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