已知 f(x)=2lnx+ ax x+1 (x＞0) ．
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（1）当a=-8时，f（x）=2lnx-
8x
x+1 ，x＞0，
则 f ′ (x)=
2
x -
8
(x+1 ) 2 =
2(x-1 ) 2
x(x+1 ) 2 ≥0，
∴f（x）在定义域上单调递增．
（2）证明：∵ f ′ (x)=
2
x +
a
(x+1 ) 2
=
2 x 2 +(4+a ) 2 +2
x(x+1 ) 2 ，
∵f（x）在定义域上有两个极值点x 1，x 2（x 1≠x 2），
∴f′（x）=0有两个不相等的正实数根x 1，x 2，
则
x 1 + x 2 =-
4+a
2 ＞0
x 1 x 2 =1＞0
△=(4+a ) 2 -16＞0 ，
而f（x 1）+f（x 2）=2lnx 1+
a x 1
x 1 +1 +2lnx 2+
a x 2
x 2 +1
= 2ln( x 1 x 2 )+a(
x 1
x 1 +1 +
x 2
x 2 +1 )
=2ln（x 1x 2）+a•
2 x 1 x 2 + x 1 + x 2
x 1 x 2 + x 1 + x 2 +1 =a，
∵
f(x)-2lnx
x (x+1)=a ，
∴ f( x 1 )+f( x 2 )≥
f(x)+2
x -2 等价于
f(x)-2lnx
x (x+1)≥
f(x)+2
x -2 =
f(x)-2(x-1)
x ，
也就是要证明：对任意x＞0，有lnx≤x-1，
令g（x）=lnx-x+1，（x＞0），
由于g（1）=0，并且 g ′ (x)=
1
x -1 ，
当x＞1时，g′（x）＜0，则g（x）在（1，+∞）上为减函数；
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，则g（x）在（0，1）上为增函数，
∴g（x）在（0，+∞）上有最大值g（1）=0，即g（x）≤0，
故 f( x 1 )+f( x 2 )≥
f(x)+2
x -2 ．
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