△ABC中，∠C=90°，射线AD交射线BC于D，过D作DE垂直射线BA于点E，点F在射线CA上，BD=DF．
1个回答
解题思路：（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL证Rt△ECD≌Rt△BED，推出CF=BE即可；
（2）根据角平分线性质求出DE=DC，根据勾股定理求出AE=AC，根据ASA证△AEF≌△ACB，推出AF=AB即可；
（3）求出AC、AB、求出DM，证△DCM∽△BCA，得出比例式，求出即可．
（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°（CD⊥AC），DE⊥AB，
∴CD=DE，∠C=∠DEB=90°，
∵在Rt△ECD和Rt△BED中
DF＝BD
CD＝DE，
∴Rt△ECD≌Rt△BED（HL），
∴CF=BE，
∵AC=AF+CF，
∴BE+AF=AC；
（2）BE=AF+AC，
理由是：∵AD平分∠EAC，∠ACD=90°（CD⊥AC），AE⊥DE，
∴DE=DC，
由勾股定理得：AE2=AD2-DE2，AC2=AD2-DC2，
∴AE=AC，
∵CD⊥AC，AE⊥DE，
∴∠ACB=∠AEF=90°，
在△AEF和△ACB中
∠AEF＝∠ACB
AE＝AC
∠FAE＝∠CAB，
∴△AEF≌△ACB（ASA），
∴AF=AB，
∵BE=AB+AE，AE=AC，
∴BE=AF+AC；
（3）∵AE=2，AF=3，DM=[6/5]BE，
∴由（2）知：AC=AE=2，AB=AF=3，[6/3]BE=AF+AC=2+3=5，
∴DM=6，
∵DM∥AB，
∴△DCM∽△BCA，
∴[DM/AB]=[CM/AC]，
∴[6/3]=[CM/2]，
CM=4．
点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
考点点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，角平分线性质，勾股定理等知识点，主要考查了学生运用性质进行推理的能力，题目比较典型，但是有一定的难度．
相关问题
