已知f（x）=cos2x+asinx-[a/4]-[1/2]，a∈R．
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解题思路：（1）当a=2时，求函数f（x）=-（sinx-1）2+1，再利用二次函数的性质求得函数的值域．
（2）f（x）=-
(sinx−
a
2
)
2
+
a
2
4
-[a/4]+[1/2]，再分当[a/2]≤-1时、当-1≤[a/2]≤1时、当[a/2]≥1时三种情况，分别利用二次函数的性质求得它的最大值，综合可得M（a）的值．
（3）由于当x∈[0，2π）时，任意一个sinx的值（除±1）外，都有2个x值与之对应．令t=sinx∈（-1，1），则由题意可得，函数y=t2+t的图象和直线y=[2−a/4] 在（-1，1）上只有1个交点，数形结合可得 0＜[2−a/4]＜2，或[2−a/4]=-[1/4]，由此求得a的范围．
（1）当a=2时，求函数f（x）=cos2x+asinx-[a/4]-[1/2]=-sin2x+2sinx=-（sinx-1）2+1，
故当sinx=1时，函数取得最大值为1；当 sinx=-1时，函数取得最小值为-3，
故函数的值域为[-3，1]．
（2）∵f（x）=1-sin2x+asinx-[a/4]-[1/2]=-(sinx−
a
2)2+
a2
4-[a/4]+[1/2]，
故当[a/2]≤-1时，最大值为-(−1−
a
2)2+
a2
4-[a/4]+[1/2]=-[5a/4]-[1/2]； 当-1≤[a/2]≤1时，最大值为
a2
4-[a/4]+[1/2]；当[a/2]≥1时，最大值为-(1−
a
2)2+
a2
4-[a/4]+[1/2]=[3a/4]-[1/2]．
综上可得 M（a）=
点评：
本题考点： 三角函数的最值．
考点点评： 本题主要考查求三角函数的最值，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题．
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