如图1,在⊙O的直径AB的不同侧有定点C和动点M,点C在⊙O上,点M在弧AmB上运动,弦AC=4,CM与AB相交于点E,
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(1)①证明:如图3,∵AB为直径,

BC=

BM,

∴AB⊥CM,

∴∠CEB=∠CEA=90°,

∵AP∥CM,

∴∠PAB=90°

∴AB⊥AP,

∴AP为⊙O的切线;

②∵AB为直径,

∴∠ACB=90°,

∴∠CAB+∠B=90°,

∵∠CEA=90°,

∴∠CAB+∠ACE=90°,

∴∠ACE=∠B.

∵sin∠ACE=

1

3,

∴sin∠B=

1

3=

AC

AB,且AC=4,

4

AB=

1

3,

∴AB=12,

∴⊙O的半径为6.

(2)∵∠OAC=60°,且OA=OC,

∴△AOC为等边三角形,

∴∠AOC=60°,

如图2,当点M运动到点C关于AB的对称点M′时,S△MAO=S△CAO,则

AM′=

60×4π

180=

4

3π,

如图4,过点M′作M′M″∥AB,交⊙O于点M″,当点M 运动到M″时,S△MAO=S△CAO,则

AM″=

120×4π

180=

8

3π.

∴动点M所经过的弧长为:

8

3π或

4

3π.